第二百五十八章 微分方程，共轭梯度，泰勒公式！
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A4纸张大小的纸上，列着三道题目。
三道题目都有被圈画的痕迹。
卢教授自然不会提前知道程诺要上他这来申请免听。
那么……
他从书桌的一摞资料中看似随便抽出的题目。并非是为程诺专门准备的。
从纸张上那圈画的痕迹来看，这三道题目，被人曾经做过一遍。
而那个人，很有可能就是坐在自己面前的卢教授。
不过，想通了这件事，对程诺目前的处境来说并没有什么卵用。
无论这三道题目是怎么来的，曾经被谁做过，程诺想要让卢教授在免听申请表上签字，就必须做出这三道题目中的一道。
三选一，做对即可！
以卢教授的性格，能提出这样的条件，那足以证明，程诺手中拿着的这张纸上的三道题目，绝非等闲之辈！
其威势，绝对能在瞬间斩杀数以万计的学渣！
容不得程诺不谨慎对待。
程诺看向坐在办公桌的位子上卢教授，走上前开口道，“老师，我没带书包过来，能不能借用一下笔和草稿纸？”
卢教授放下笔，抬头看了一眼一脸人畜无害笑容的程诺，弯下腰，拉开办公桌的抽屉，将笔和草稿纸递给程诺。
他指了一旁的一张书桌，“你就在那边做吧，做完叫我。”
说完，他再次低下头，继续他手中的工作。
而程诺也听话，拿上笔和草稿纸，走到卢教授指的那个书桌前，拉过一把椅子坐下。
那张列着三道题目的A4纸，也被程诺铺平放在桌上。
程诺依次看三道题目，决定选择哪一题作为突破口。
第一题：【已知椭圆柱面S。
r(u，v)={acosu，bsinu，v}，-π≤u≤π，﹣∞≤v≤＋∞
（1）：求S上任意测地线的方程。
（2）：设a=b，取p=（a，0，0)，Q=r(u，v)={acosu0，bsinu0，v0}，-π≤u0≤π，﹣∞≤v0≤＋∞，写出S上连接P，Q两点的最短曲线方程。】
第二题：【推导求解线性方程组的共轭梯度法的计算格式，并证明该格式经有限步迭代后收敛。】
第三题：【设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0，min（0≤x≤1)f(x)=-1。
证明：存在η∈（0，1）使得f(η)》8。】
从头到尾看完这三道题目后，程诺的眉头紧皱。
第一道题目，算是一个综合性很强的题目。
椭圆方程，三角函数，微分方程，向量运算。
四个方面的内容相结合，也就导致了这道题目的超高难度。
求解第一问需要向量和三角函数的知识，这个到对程诺来说没什么难度。
可第二问，主要需要的是常微分方程的知识。
关于常微分方程，其实在卢教授正在教授的这本《高等数学》上册的最后的一章里，就有涉及。
不过，本来就是一本基础性数学教学书籍，高等数学所讲的内容，只是一些最为基础简单的解法，皮毛而已。
甚至，或许连皮毛都称不上。
而数学系那边，要大二的时候，才有一本叫做《常微分方程》的专业课，专门详细的讲解这类方程。程诺是跟着今年大一的数学系一块上课的，自然还未学到。
以目前程诺仅有的知识来看，第二问，应该是用求解常微分方程的皮卡-林德勒夫定理来进行求解。
可关于皮卡-林德勒夫定理，程诺只是略有耳闻。距离灵活运用，程诺还差着不小的距离。
第一题，程诺只能战略性放弃。
至于第二道题目，这就更让程诺蛋疼了。
所谓的线性方程组的共轭梯度法，就是通过差分离散Laplace 方程，得到一个大型线性方程组。
题目的要求，就是要求将这个方程组一般格式，进行不断的迭代运算，通过残差的递推关系，确定正交的方程组，确定那个趋近的那个收敛值。
要说第一道题目中微分方程求解方式，勉强算是和高数有关的内容的话。
那第二道题目，和高数中所讲解的内容，简直特么的半毛钱的关系的都没有啊！
什么共轭梯度法，Laplace 方程，残差递推关系，完全不是程诺这个大一新生应该掌握的内容。
而确实，和上一道题目一样，这些内容，程诺只是听过。
至于解题，抱歉，程诺实在是做不到啊！
本来，程诺还想着这三道题目都给他做出来，好好的震惊卢教授一把。
可奈何……实力不足。
不过，值得程诺庆幸的，第三道题目对程诺来说还算是非常友好的。只要运用泰勒公式的特殊形式，麦克劳林展开式，外加施勒米尔希-罗什余项的相关知识，就能完美求解。
泰勒公式，算是整个高数上册知识中最为复杂难懂的内容。在此葬送了无数的天骄。
其一般用于计算误差。一般的关于泰勒公式的题目，只需要简单的公式代入。
而程诺面前的这道题目却并非这样。
那真的需要一个个去用泰勒公式展开。
工作量，相当复杂！
但和前两道题的完全不会做相比，程诺只能选择这个考验计算量的题目了。
开工吧！
程诺搓搓手，将一摞草稿纸拿到自己面前。
既然选定了题目，那就尽全力去做。
那个免听申请，自己是一定要拿到的！
紧闭双眼，思绪在脑中高速飞转。
半分钟后，程诺的双眼陡然睁开，一抹精光闪过。他嘴角微翘，拿起笔，在草稿纸上一边写一边计算。
【f(x)=f(t)/0!+f'(t)/1!*(x-a)+f''(t)/2!*(x-a)^2……
…………
0=f(0)=-1+f''(t1)/2!x0^2
0=f(1)=……
又因为0≤x≤1，所以f(η)=max{2/x^2，2/(1-x0)^2}≥8 ！】
搞定！
用了十多分钟的时间，程诺列了整整一张A4纸的公式，终于将这道题目算了出来。
那一瞬间，成就感满满。
检查了一遍，确认没有问题后，程诺盖上笔帽，拿起自己的答案，起身走到卢教授面前。
“教授，我做完了。”程诺轻声开口。
卢教授抬头先看了一眼程诺，随后抬起手腕看了看时间。
他那张略显严肃的脸上，也流露出微微讶然的神情。
显然，程诺的速度，超出于他的预计。
他认认真真的上下打量一眼，倒是不着急接过程诺写好的答案，反而是笑着问，“你做的是第几道题目？”
“第三道。”程诺老老实实回答。
“那你知道这三道题目是我从哪拿来的吗？”卢教授开口。
程诺摇头。
卢教授请吐出一句话，“去年全国大学生数学竞赛数学类三、四年级总决赛最后压轴的三道题，就是这三道。”
“那次，没有一位学生，能够全部做对最后这三道题目。”
A4纸张大小的纸上，列着三道题目。
三道题目都有被圈画的痕迹。
卢教授自然不会提前知道程诺要上他这来申请免听。
那么……
他从书桌的一摞资料中看似随便抽出的题目。并非是为程诺专门准备的。
从纸张上那圈画的痕迹来看，这三道题目，被人曾经做过一遍。
而那个人，很有可能就是坐在自己面前的卢教授。
不过，想通了这件事，对程诺目前的处境来说并没有什么卵用。
无论这三道题目是怎么来的，曾经被谁做过，程诺想要让卢教授在免听申请表上签字，就必须做出这三道题目中的一道。
三选一，做对即可！
以卢教授的性格，能提出这样的条件，那足以证明，程诺手中拿着的这张纸上的三道题目，绝非等闲之辈！
其威势，绝对能在瞬间斩杀数以万计的学渣！
容不得程诺不谨慎对待。
程诺看向坐在办公桌的位子上卢教授，走上前开口道，“老师，我没带书包过来，能不能借用一下笔和草稿纸？”
卢教授放下笔，抬头看了一眼一脸人畜无害笑容的程诺，弯下腰，拉开办公桌的抽屉，将笔和草稿纸递给程诺。
他指了一旁的一张书桌，“你就在那边做吧，做完叫我。”
说完，他再次低下头，继续他手中的工作。
而程诺也听话，拿上笔和草稿纸，走到卢教授指的那个书桌前，拉过一把椅子坐下。
那张列着三道题目的A4纸，也被程诺铺平放在桌上。
程诺依次看三道题目，决定选择哪一题作为突破口。
第一题：【已知椭圆柱面S。
r(u，v)={acosu，bsinu，v}，-π≤u≤π，﹣∞≤v≤＋∞
（1）：求S上任意测地线的方程。
（2）：设a=b，取p=（a，0，0)，Q=r(u，v)={acosu0，bsinu0，v0}，-π≤u0≤π，﹣∞≤v0≤＋∞，写出S上连接P，Q两点的最短曲线方程。】
第二题：【推导求解线性方程组的共轭梯度法的计算格式，并证明该格式经有限步迭代后收敛。】
第三题：【设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0，min（0≤x≤1)f(x)=-1。
证明：存在η∈（0，1）使得f(η)》8。】
从头到尾看完这三道题目后，程诺的眉头紧皱。
第一道题目，算是一个综合性很强的题目。
椭圆方程，三角函数，微分方程，向量运算。
四个方面的内容相结合，也就导致了这道题目的超高难度。
求解第一问需要向量和三角函数的知识，这个到对程诺来说没什么难度。
可第二问，主要需要的是常微分方程的知识。
关于常微分方程，其实在卢教授正在教授的这本《高等数学》上册的最后的一章里，就有涉及。
不过，本来就是一本基础性数学教学书籍，高等数学所讲的内容，只是一些最为基础简单的解法，皮毛而已。
甚至，或许连皮毛都称不上。
而数学系那边，要大二的时候，才有一本叫做《常微分方程》的专业课，专门详细的讲解这类方程。程诺是跟着今年大一的数学系一块上课的，自然还未学到。
以目前程诺仅有的知识来看，第二问，应该是用求解常微分方程的皮卡-林德勒夫定理来进行求解。
可关于皮卡-林德勒夫定理，程诺只是略有耳闻。距离灵活运用，程诺还差着不小的距离。
第一题，程诺只能战略性放弃。
至于第二道题目，这就更让程诺蛋疼了。
所谓的线性方程组的共轭梯度法，就是通过差分离散Laplace 方程，得到一个大型线性方程组。
题目的要求，就是要求将这个方程组一般格式，进行不断的迭代运算，通过残差的递推关系，确定正交的方程组，确定那个趋近的那个收敛值。
要说第一道题目中微分方程求解方式，勉强算是和高数有关的内容的话。
那第二道题目，和高数中所讲解的内容，简直特么的半毛钱的关系的都没有啊！
什么共轭梯度法，Laplace 方程，残差递推关系，完全不是程诺这个大一新生应该掌握的内容。
而确实，和上一道题目一样，这些内容，程诺只是听过。
至于解题，抱歉，程诺实在是做不到啊！
本来，程诺还想着这三道题目都给他做出来，好好的震惊卢教授一把。
可奈何……实力不足。
不过，值得程诺庆幸的，第三道题目对程诺来说还算是非常友好的。只要运用泰勒公式的特殊形式，麦克劳林展开式，外加施勒米尔希-罗什余项的相关知识，就能完美求解。
泰勒公式，算是整个高数上册知识中最为复杂难懂的内容。在此葬送了无数的天骄。
其一般用于计算误差。一般的关于泰勒公式的题目，只需要简单的公式代入。
而程诺面前的这道题目却并非这样。
那真的需要一个个去用泰勒公式展开。
工作量，相当复杂！
但和前两道题的完全不会做相比，程诺只能选择这个考验计算量的题目了。
开工吧！
程诺搓搓手，将一摞草稿纸拿到自己面前。
既然选定了题目，那就尽全力去做。
那个免听申请，自己是一定要拿到的！
紧闭双眼，思绪在脑中高速飞转。
半分钟后，程诺的双眼陡然睁开，一抹精光闪过。他嘴角微翘，拿起笔，在草稿纸上一边写一边计算。
【f(x)=f(t)/0!+f'(t)/1!*(x-a)+f''(t)/2!*(x-a)^2……
…………
0=f(0)=-1+f''(t1)/2!x0^2
0=f(1)=……
又因为0≤x≤1，所以f(η)=max{2/x^2，2/(1-x0)^2}≥8 ！】
搞定！
用了十多分钟的时间，程诺列了整整一张A4纸的公式，终于将这道题目算了出来。
那一瞬间，成就感满满。
检查了一遍，确认没有问题后，程诺盖上笔帽，拿起自己的答案，起身走到卢教授面前。
“教授，我做完了。”程诺轻声开口。
卢教授抬头先看了一眼程诺，随后抬起手腕看了看时间。
他那张略显严肃的脸上，也流露出微微讶然的神情。
显然，程诺的速度，超出于他的预计。
他认认真真的上下打量一眼，倒是不着急接过程诺写好的答案，反而是笑着问，“你做的是第几道题目？”
“第三道。”程诺老老实实回答。
“那你知道这三道题目是我从哪拿来的吗？”卢教授开口。
程诺摇头。
卢教授请吐出一句话，“去年全国大学生数学竞赛数学类三、四年级总决赛最后压轴的三道题，就是这三道。”
“那次，没有一位学生，能够全部做对最后这三道题目。”